Poliedros con Mindmeister

Poliedros - Mindmeister

POLIEDROS por Janina Collantes Alvarado

Para observar el mapa mental elaborado con Mindmeister sólo tienes que hace clic en el siguiente link:

https://www.mindmeister.com/710445598/poliedros



Poliedros

   El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía: “Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.

   Con esta frase queremos resaltar lo importante que es estudiar las figuras y cuerpos geométricos (Poliedros) que podemos observar en la naturaleza y en las creaciones de la humanidad.

I. DEFINICIÓN.- Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro,  los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.

II. ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.- Todo poliedro presenta los siguientes elementos:

Caras: polígonos que limitan al poliedro.

Aristas: lados de las caras del poliedro.

Vértices: puntos donde concurren varias aristas.

III. CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS.-  Los poliedros se pueden clasificar en dos grandes grupos:

1. Poliedro Cóncavo.- Es aquel que tiene alguna cara que al prolongarla corta al poliedro y además no todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano.

2. Poliedro Convexos.- Es aquel en el cual todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano.

Los poliedros convexos a su vez se pueden clasificar en:

2.1. Poliedros Regulares.- Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice.

Solo existen 5 poliedros regulares que son:

• Tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales.
• Hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales.
• Octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales.
• Dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales.
• Icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

2.2. Poliedros Irregulares.- Los poliedros irregulares cuyas caras no son todas iguales.

Los poliedros irregulares  según el número de sus caras se pueden clasificar en: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro, etc

Dentro de los poliedros  irregulares podemos distinguir dos casos especiales: Pirámides y Prismas.

PRISMAS

Los prismas son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la base.

Los prismas se clasifican en:

a) Rectos y oblicuos: Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.

b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.

c) Por el número de lados de sus bases:

    -Triangulares, si sus bases son triángulos

    - Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros

    - Pentagonales, ....etc.

   Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cubo ( todas sus caras son cuadrados ) , ortoedro ( todas sus caras son rectángulos ) , romboedro ( todas sus caras son rombos ) y romboidedro (todas sus caras son romboides ) .

Debemos tener en cuenta que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por tanto no es necesario decirlo.

La mejor forma de nombrarlos es : prisma recto de base pentagonal irregular , prisma oblicuo de base cuadrada , prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base rectangular .

Área Lateral, Área Total y Volumen del Prisma

   Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL.- Es decir, el área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma.

 AL =p . h 

ÁREA TOTAL.- Es decir, el área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de las 2 bases.

 AT =p.h + 2. Ab 

VOLUMEN.- Es decir, el volumen es igual al área del polígono de  la base multiplicado por la altura ( h ) del prisma.

V = Ab . h

PIRÁMIDES

    Las pirámides son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

Las pirámides se clasifican en:

a) Rectas y oblicuas: Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base, o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua.

b) Regulares e irregulares: Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. En caso contrario será irregular.

c) Por el número de lados de su base:

    - Triangular

    - Cuadrangular

    - Pentagonal , ....etc.

Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco de pirámide.

La mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular , pirámide oblicua de base cuadrada.

Área Lateral, Área Total y Volumen de una Pirámide.

     

 Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL.- El área lateral es igual al perímetro del polígono de  la base multiplicado por  la altura de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2)      

 AL = p . ap/2 

ÁREA TOTAL.- El área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de la base.

 AT = (p .ap+ Ab)/2 

VOLUMEN.- El volumen es igual al área del polígono de  la base multiplicado por la altura ( h ) de la pirámide y dividido entre 3

 V = Ab . h/3 

IV. DESARROLLO DE POLIEDROS.- Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.